Introducción
En el estudio de los sistemas de control se requiere conocer el comportamiento de los elementos que forman parte de un sistema a controlar y del sistema de control. Este comportamiento se puede expresar como modelos matemáticos. Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un conjunto de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con precisión, sin embargo, es importante tener presente que un modelo matemático no es único para un sistema determinado. El estudio de un sistema dinámico consiste en determinar analíticamente la respuesta (salida) cuando la entrada experimenta una variación en el tiempo (excitación), dicho de otra manera, es representar la respuesta transitoria del sistema.
La dinámica de sistemas tales como: mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos, biológicos, etc, se describe mediante ecuaciones diferenciales, que pueden ser lineales o No lineales según el rango de funcionamiento en el cual se quiere estudiar al sistema. Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a partir de leyes físicas que gobiernan un sistema determinado, como las leyes de Newton para sistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoff para sistemas eléctricos. Aquí se estudiará los modelos matemáticos, lineales y simplificados de algunos tipos de sistemas mas comunes.
Sistemas mecánicos
Los sistemas mecánicos están formados por los siguientes elementos
Donde:
F: Fuerza x: Desplazamiento horizontal V: Velocidad a: aceleración K: constante del resorte
C: Constante del amortiguador B: Coeficiente de fricción M: masa
El modelo matemático se obtiene haciendo un diagrama de cuerpo libre sobre cada masa del sistema.
Sistemas Eléctricos
Los sistemas Eléctricos están formados por los siguientes elementos
Ejemplos de modelado matemático para sistemas mecánicos
Ejemplo 1. Para el sistema mecánico de la figura 1, encuentre su modelo matemático
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Figura 1. Sistema Mecánico
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Se procede a realizar el diagrama de cuerpo libre sobre la masa M del sistema. En la figura de la derecha se pueden observar las fuerzas que actúan sobre la masa; Fa:Fuerza del amortiguado, Fr:Fuerza del resorte y F: Fuerza aplicada a la masa. Como la masa se muesve verticalmente usaremos "y" para desplazamiento. Aplicando la segunda ley de Newton tenemos que:
$$\sum F=Ma=F-Fr-Fa=Ma$$ $$F-Ky-C\frac{dy}{dt}=M\frac{d^{2}y}{dt^{2}}$$ Ordenando la ecuación diferencial $$M\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+C\frac{dy}{dt}+Ky=F$$
Esta ecuación es una realación del desplazamiento de la masa (salida) en función de la fuerza aplicada (entrada).
Ejemplo 2.
Para el sistema mecánico de la figura 2, encuentre su modelo matemático.
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| Figura 2. Sistema mecánico Masa-Resorte |
Se puede observar de la figura 2, que sobre la masa M actúan tres fuerzas, Fr: Fuerza del resorte, Ff: Fuerza de fricción y F(t): Fuerza aplicada sobre la masa. Estas fuerzas se pueden ver en el diagrama de cuerpo libre de la figura de la izquierda. Aplicando la segunda ley de Newton sobre la masa M, tenemos:
$$\sum F=Ma=F-Fr-Ff=Ma$$
$$F-Ky-b\frac{dy}{dt}=Ma$$
$$F=M\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+b\frac{dy}{dt}+ky$$
Esta ecuación es una realación del desplazamiento de la masa (salida) en función de la fuerza aplicada (entrada).
Ejemplos de modelado matemático para sistemas Eléctricos
Ejemplo 1. Encuentre el modelo matemático para el sistema eléctrico de la figura 3
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| Figura 3. Sistema eléctrico RLC |
El circuito de la figura 3 se puede desrcibir utilzando la ley de corrientes de Kirchhoff, quedando así la siguiente ecuación integro-diferecncial:
$$r(t)=ic(t)+i_{R}+i_{L}(t)$$
$$r(t)=c\frac{dv(t)}{dt}+\frac{v(t)}{R}+\frac{1}{L}\int_{0}^{t}v(t)dt$$
Ejercicios Propuestos:
Encuentres el modelo matemáticos para los siguientes sistemas eléctricos y mecánicos
